title: Théorie des Ensembles : Produit Cartésien et Relations Binaires
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Théorie des Ensembles

A. Produit Cartésien

• Définition : Ensemble des couples
  • Notation : $E \times F = \{(a, b) \mid a \in E, b \in F\}$
• Exemple : $E = \{1; 2\}, F = \{1; 2; 3\}$
  • Résultat : 6 couples ordonnés
• Propriétés
  • Non commutatif : $E \times F \neq F \times E$
  • Cardinalité : $\text{Card}(E \times F) = \text{Card}(E) \times \text{Card}(F)$

B. Relation Binaire

• Définition par triplet
  • $(E, F, G)$ où $G \subseteq E \times F$
  • Notation : $x \mathcal{R} y \iff (x, y) \in G$
• Cas particulier
  • Relation sur $E$ si $E = F$

C. Propriétés (cas $E = F$)

• Réflexive
  • $\forall x \in E, x \mathcal{R} x$
• Symétrique
  • $\forall (x, y), x \mathcal{R} y \Rightarrow y \mathcal{R} x$
• Transitive
  • $\forall (x, y, z), (x \mathcal{R} y) \wedge (y \mathcal{R} z) \Rightarrow x \mathcal{R} z$
• Antisymétrique
  • $\forall (x, y), (x \mathcal{R} y) \wedge (y \mathcal{R} x) \Rightarrow x = y$

D. Exemples et Diagrammes

• Exemple 1 : $E = \{1; 2; 3; 4\}$
  • Graphe : 8 couples
  • Propriétés vérifiées
    • Réflexive : tous $(x,x)$ présents
    • Symétrique : couples réciproques
    • Transitive : vérifiée
• Exemple 2 : $E = \{0; 1; 4; 7; 8; 11\}$
  • Relation : $x + y$ pair
  • Regroupe pairs et impairs

E. Relations Spéciales

• Relation d'équivalence
  • Réflexive + Symétrique + Transitive
  • Classe d'équivalence
• Relation d'ordre
  • Réflexive + Transitive + Antisymétrique

F. Exemple Relation d'Équivalence

• Sur $\mathbb{Z}^2$
  • Relation : $x \mathcal{R} y \iff x^2 \equiv y^2 \pmod{5}$
  • Propriétés vérifiées
    • Réflexive : $x^2 \equiv x^2$
    • Symétrique : équivalence modulo
    • Transitive : transitivité modulo
  • Classes d'équivalence
    • Reste 0 : $n^2 \equiv 0 \pmod{5}$
    • Reste 1 : $n^2 \equiv 1 \pmod{5}$
    • Reste 4 : $n^2 \equiv 4 \pmod{5}$