Fiche de revision sur Système Binaire

Appartient au cours : Système Binaire

🧠 Système Binaire : Fondamentaux et Conversions

🔌 Pourquoi le binaire ?

Les circuits électriques n’ont que 2 états :
- 0 = Pas de courant
- 1 = Courant présent
Base de l’informatique : Tout est codé en 0 et 1.

⚙️ Combien d’états possibles avec N bits ?

1 bit → 2¹ = 2 états (0 ou 1)
2 bits → 2² = 4 états (00, 01, 10, 11)
N bits → 2ᴺ états (formule générale)

💡 Exemple :

3 bits → 2³ = 8 états (000 à 111)

🔢 Conversion Décimal → Binaire

Méthode : Divisions successives par 2

Diviser le nombre décimal par 2.
Noter le reste (0 ou 1).
Répéter avec le quotient jusqu’à obtenir 0.
Lire les restes à l’envers pour obtenir le binaire.

⚠️ Exemple : Convertir 49₁₀ en binaire

Division	Quotient	Reste
49 ÷ 2	24	1
24 ÷ 2	12	0
12 ÷ 2	6	0
6 ÷ 2	3	0
3 ÷ 2	1	1
1 ÷ 2	0	1

→ 49₁₀ = 110001₂

🔄 Conversion Binaire → Décimal

Méthode : Puissances de 2

Chaque bit est multiplié par 2ⁿ, où n = position du bit (en partant de 0 à droite).
Additionner les résultats.

⚠️ Exemple : Convertir 10110₂ en décimal

Bit	Position (n)	2ⁿ	Valeur (bit × 2ⁿ)
1	4	16	1 × 16 = 16
0	3	8	0 × 8 = 0
1	2	4	1 × 4 = 4
1	1	2	1 × 2 = 2
0	0	1	0 × 1 = 0

→ 10110₂ = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22₁₀

📊 Tableau des nombres 0 à 10 en binaire

Décimal	Binaire
0	0
1	1
2	10
3	11
4	100
5	101
6	110
7	111
8	1000
9	1001
10	1010

➕ Addition Binaire

Règles de base

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10 (0 et retenue de 1)
1 + 1 + 1 = 11 (1 et retenue de 1)

⚠️ Exemple : 10110₂ (22) + 11011₂ (27)

  10110
+ 11011
-------
 110001 (49)

✖️ Multiplication Binaire

Méthode : Décalage et addition

Multiplier le multiplicande par chaque bit du multiplicateur (0 ou 1).
Décaler les résultats partiels vers la gauche (comme en décimal).
Additionner les produits partiels.

⚠️ Exemple : 10110₂ (22) × 1111₂ (15)

      10110
    ×  1111
    -------
      10110   (10110 × 1)
     10110    (10110 × 1, décalé de 1)
    10110     (10110 × 1, décalé de 2)
+ 10110      (10110 × 1, décalé de 3)
---------
 110010010 (330)

🔑 Ancrage Mémoriel

Le binaire repose sur 2 états (0/1) et 2ᴺ combinaisons pour N bits.
Conversion décimal → binaire : Divisions par 2 et lecture des restes à l’envers.
Conversion binaire → décimal : Multiplication par 2ⁿ (n = position du bit).
Addition binaire : Retenues comme en décimal, mais avec 1 + 1 = 10.
Multiplication binaire : Décalages et additions successives.

Summary

Cette fiche de révision présente les fondamentaux du système binaire : les deux états 0 et 1, la formule 2ᴺ pour le nombre d'états possibles avec N bits, les méthodes de conversion décimal ↔ binaire, ainsi que les règles d'addition et de multiplication binaire. Elle inclut des exemples détaillés comme 49₁₀ = 110001₂ et un tableau des nombres de 0 à 10 en binaire.

Key Facts

Les circuits électriques n'ont que 2 états : 0 pour l'absence de courant et 1 pour la présence de courant.

Avec N bits, le nombre d'états possibles est 2ᴺ ; par exemple 3 bits donnent 8 états (000 à 111).

La conversion décimal → binaire s'effectue par divisions successives par 2 en lisant les restes à l'envers.

Le nombre décimal 49₁₀ se convertit en binaire 110001₂.

La conversion binaire → décimal multiplie chaque bit par 2ⁿ selon sa position, en partant de 0 à droite.

Le nombre binaire 10110₂ correspond au décimal 22₁₀ (16 + 0 + 4 + 2 + 0).

En addition binaire, 1 + 1 = 10 (0 avec retenue de 1) et 1 + 1 + 1 = 11 (1 avec retenue de 1).

L'addition 10110₂ (22) + 11011₂ (27) donne 110001₂ (49).

La multiplication binaire 10110₂ (22) × 1111₂ (15) donne 110010010₂ (330).

Le tableau des nombres de 0 à 10 en binaire va de 0₂ pour 0 à 1010₂ pour 10.

Frequently Asked Questions

Pourquoi utilise-t-on le système binaire en informatique ?

Les circuits électriques n'ont que 2 états : 0 (pas de courant) et 1 (courant présent). Tout est codé en 0 et 1, ce qui constitue la base de l'informatique.

Combien d'états possibles avec N bits ?

Avec N bits, il y a 2ᴺ états possibles. Par exemple, 1 bit donne 2 états (0 ou 1), 2 bits donnent 4 états (00, 01, 10, 11) et 3 bits donnent 8 états (000 à 111).

Comment convertir un nombre décimal en binaire ?

On effectue des divisions successives par 2 : on divise le nombre par 2, on note le reste (0 ou 1), on répète avec le quotient jusqu'à obtenir 0, puis on lit les restes à l'envers. Par exemple, 49₁₀ = 110001₂.

Comment convertir un nombre binaire en décimal ?

Chaque bit est multiplié par 2ⁿ, où n est la position du bit en partant de 0 à droite, puis on additionne les résultats. Par exemple, 10110₂ = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22₁₀.

Quelles sont les règles de l'addition binaire ?

Les règles sont : 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 10 (0 et retenue de 1), 1 + 1 + 1 = 11 (1 et retenue de 1). Par exemple, 10110₂ (22) + 11011₂ (27) = 110001₂ (49).