CALCUL LITTÉRAL

Vidéo sur le calcul littéral : Vidéos disponibles via les liens https://youtu.be/gSa851JJn6c (développements) et https://youtu.be/kQGWtMOHbrA (factorisations).

Partie 1 : Somme et produit

Vidéo : https://youtu.be/FTi9WOQsq3w

Exemples :

Définitions :

• Développer : Transformer un produit en une somme.
• Factoriser : Transformer une somme en un produit.

[Schéma: flèche indiquant "DEVELOPPER" de haut en bas vers le calcul x(4-y) = 4x - xy, suivie d'une flèche indiquant "FACTORISER" de haut en bas]

Partie 2 : Développement

1. Distributivité simple

Exemple :

[Schéma: Representation de la distributivité simple avec des flèches montrant 6 \times x et 6 \times 5 pour arriver au calcul 6(x+5) = 6x + 30]

Formule de distributivité :
a(b + c) = ab + ac

Méthode : Développer une expression

Vidéos :

• https://youtu.be/S_ckQpWzmG8
• https://youtu.be/URNId8xsXgM

Développer les expressions suivantes :

• A = 4(5 + x)
• B = 5(x - 2)
• C = (4 x + 6) × 3
• D = −6(-2x + 4)
• E = -x(2 – 3x)
• F = -(5 – x)

Correction :

• A = 4(5 + x) = 20 + 4x
• B = 5(x - 2) = 5x - 10
• C = (4x + 6) × 3 = 12x + 18
• D = -6(-2x + 4) = 12x - 24
• E = -x(2 - 3x) = -2x + 3x²
• F = -(5 - x) = -5 + x

Rappel : Règle des signes

• + par + devient +
• - par - devient +
• + par - devient -
• - par + devient -

2. Double-distributivité

Exemple :

[Schéma: Représentation de la double distributivité pour (2+5x)(x+4) avec des flèches indiquant les quatre multiplications : 2 \times x, 2 \times 4, 5x \times x, 5x \times 4, menant au calcul (2+5x)(x+4) = 2x + 8 + 5x² + 20x]

Formule de double distributivité :

[Schéma: Representation de la double distributivité avec des numéros (1, 2, 3, 4) et des flèches, ainsi que la formule (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd]

Méthode : Appliquer la double distributivité pour développer

Vidéos :

• https://youtu.be/1EPOmbvoAlU
• https://youtu.be/YS-3Jl_z2f0
• https://youtu.be/o6qVMmA30TQ

Développer et réduire les expressions :

• A = (2x + 3)(x + 8)
• B = (−3 + x)(4 – 5x)
• C = 2(3 + x)(3 – 2x)
• D = 2x(1 − x) − (x − 3)(3x + 2)

Correction :

• A = (2x + 3)(x + 8) = 2x² + 16x + 3x + 24 = 2x² + 19x + 24
• B = (−3 + x)(4 – 5x) = -12 + 15x + 4x - 5x² = -5x² + 19x – 12
• C = 2(3 + x)(3 – 2x) = 2(9 – 6x + 3x - 2x²) = 2(-2x² - 3x + 9) = -4x² - 6x + 18
• D = 2x(1 - x) - (x - 3)(3x + 2) = (2x - 2x²) - (3x² + 2x - 9x - 6) = 2x - 2x² - 3x² - 2x + 9x + 6 = -5x² + 9x + 6

Partie 3 : Factorisation

Méthode : Factoriser une expression (1)

Vidéo : https://youtu.be/r3AzqvgLcl8

Pour factoriser, il faut trouver dans chaque terme un facteur commun. Trouver le facteur commun de ces expressions, puis factoriser et réduire si possible :

• A = 3,5x - 4,2x + 2,1x
• B = 4t - 5tx + 3t
• C = 4x - 4y + 8
• D = x² + 3x - 5x²
• E = 3t + 9u + 3
• F = 3x² - x

Correction :

• A = 3,5x - 4,2x + 2,1x = x(3,5 - 4,2 + 2,1) = 1,4x
• B = 4t - 5tx + 3t = t(4 - 5x + 3) = t(7 - 5x)
• C = 4x - 4y + 8 = 4(x - y + 2)
• D = x² + 3x - 5x² = x(x + 3 - 5x) = x(-4x + 3)
• E = 3t + 9u + 3 = 3(t + 3u + 1)
• F = 3x² - x = x(3x - 1)

Méthode : Factoriser une expression (2)

Vidéo : https://youtu.be/UGTFELhE9Dw

Factoriser les expressions suivantes :

• A = 3(2 + 3x) - (5 + 2x)(2 + 3x)
• B = (2 – 5x)² - (2 – 5x)(1 + x)
• C = 5(1 – 2x) - (4 + 3x)(2x – 1)

Correction :
Pour factoriser, il faut trouver dans chaque terme un facteur commun.

• A = 3(2 + 3x) - (5 + 2x)(2 + 3x) Le facteur commun est 2 + 3x.
  = (2 + 3x)(3 - (5 + 2x))
= (2 + 3x)(3 - 5 - 2x)
= (2 + 3x)(-2 - 2x)
• B = (2 – 5x)² - (2 – 5x)(1 + x)
= (2 - 5x)(2 - 5x) - (2 - 5x)(1 + x)
= (2 - 5x)((2 - 5x) - (1 + x))
= (2 - 5x)(2 - 5x - 1 - x)
= (2 - 5x)(1 - 6x)
• C = 5(1-2x) - (4 + 3x)(2x – 1)
= 5(1-2x) - (4 + 3x) * -(1 - 2x)
= 5(1-2x) + (4 + 3x)(1-2x)
= (1 - 2x)(5 + (4 + 3x))
= (1 - 2x)(9 + 3x)

Lorsque le facteur commun n'est pas immédiatement apparent, il est parfois possible de modifier l'écriture d'un des termes de l'expression pour faire apparaître un facteur commun.

Partie 4 : Identités remarquables

Propriété :

[Schéma: deux rectangles divisés représentant le développement de (a+b)², (a-b)², et (a+b)(a-b) avec les formules correspondantes : (a + b)² = a² + 2ab + b², (a-b)² = a² - 2ab + b², (a + b)(a - b) = a² - b²]

Illustration géométrique de la 1ère identité remarquable :

[Image: Un carré de côté a+b divisé en quatre régions : un carré a², deux rectangles ab, et un carré b². La légende indique (a + b)² = a² + 2ab + b²]

Exemples :
Vidéo : https://youtu.be/A8U1QVW7RaU

• (x + 3)² = x² + 2 × x × 3 + 3² = x² + 6x + 9
• (x - 5)² = x² - 2 × x × 5 + 5² = x² - 10x + 25
• (2x - 1)(2x + 1) = (2x)² - 1² = 4x² - 1

Vidéos :

• https://youtu.be/wDAdBXIZNK4

1) Les identités remarquables pour développer

Méthode : Appliquer les identités remarquables pour développer (1)

Vidéo : https://youtu.be/U98Tk89SJ5M

Développer et réduire éventuellement :

• A = (x + 3)²
• B = (3x - 4)²
• C = (x − 3)(x + 3)
• D = (2x + 3)(2x – 3)
• E = (4 – 3x)(3x + 4)

Correction

A = (x + 3)² = x² + 6x + 3² = x² + 6x + 9

B = (3x - 4)² = (3x)² - 24x + 4² = 9x² - 24x + 16

C = (x − 3)(x + 3) = x² – 3² = x² − 9

D = (2x + 3)(2x − 3) = (2x)² – 3² = 4x² − 9

E = (4 – 3x)(3x + 4) = (4 – 3x)(4 + 3x) = 4² − (3x)² = 16 – 9x²

Méthode : Appliquer les identités remarquables pour développer (2)
Vidéo : https://youtu.be/7va96s4OfiM

Développer et réduire en utilisant les identités remarquables :
A = (2x − 3)² + (x + 5)(3 - x)
B = (x − 3)(x + 3) – (4 – 3x)²
C = 2(x + 3) + (2x + 3)(2x – 3)

Correction

A = (2x - 3)² + (x + 5)(3 - x)

= 4x² - 12x + 9 + 3x - x² + 15 - 5x
= 3x² - 14x + 24

B = (x - 3)(x + 3) - (4 – 3x)²

= x² - 9 - (16 – 24x + 9x²)
= x² - 9 - 16 + 24x - 9x²
= -8x² + 24x - 25

C = 2(x + 3) + (2x + 3)(2x – 3)

= 2x + 6 + (2x)² - 3²
= 2x + 6 + 4x² - 9
= 4x² + 2x - 3

2) Les identités remarquables pour factoriser

Méthode : Factoriser en appliquant les identités remarquables (1)
Vidéo : https://youtu.be/T9T4leYGEe4

Factoriser :
A = x² - 2x + 1
B = 4x² + 12x + 9
C = 9x² - 4
D = 25 + 16x² - 40x
E = 1 - 49x²

---

Correction

Retrouvons les termes a², 2ab, b² des identités remarquables.

A = x² - 2x + 1 = (x - 1)²

(2ª identité remarquable avec a = x et b = 1)

B = 4x² + 12x + 9 = (2x + 3)²

(1re identité remarquable avec a = 2x et b = 3)

C = 9x² - 4 = (3x - 2)(3x + 2)

(3ª identité remarquable avec a = 3x et b = 2)

D = 25 + 16x² - 40x = 25 - 40x + 16x² = (5 - 4x)²

(2ª identité remarquable avec a = 5 et b = 4x)

E = 1 - 49x² = (1 - 7x)(1 + 7x)

(3º identité remarquable avec a = 1 et b = 7x)

Méthode : Factoriser en appliquant les identités remarquables (2)
Vidéo : https://youtu.be/nLRRUMRyfZg
Vidéo : https://youtu.be/tO4p9TzMrls

Factoriser et réduire :
A = (2x + 3)² – 64
B = 1 − (2 - 5x)²

Correction

A = (2x + 3)² - 64

= (2x + 3)² - 8²
= ((2x + 3) - 8)((2x + 3) + 8)
= (2x - 5)(2x + 11)
(3ª identité remarquable avec a = 2x + 3 et b = 8)

B = 1 - (2 - 5x)²

= 1² - (2 - 5x)²
= (1 - (2 - 5x))(1 + (2 - 5x))
= (1 - 2 + 5x)(1 + 2 - 5x)
= (-1 + 5x)(3 - 5x)
(3ª identité remarquable avec a = 1 et b = 2 - 5x)