Calcul littéral

Somme et produit

• Définitions
  • Développer : produit → somme
  • Factoriser : somme → produit
• Exemples de sommes/différences
  • x - 3
  • (2x + 4) + 3x
  • (5x) - (9 + 9x)
  • 3 + (2 + 3x)(x - 2)
• Exemples de produits
  • (6x + 1) × (x - 1)
  • 2 × (1 + 6x)
  • x × (8 - x) × (2 + x)
  • (3 + 8x) × (x – 8)²

Développement

Distributivité simple

- Formule : `a(b + c) = ab + ac`
- Exemple : `6(x+5) = 6x + 30`
- Rappel des signes
  - `+*+ = +`
  - `-*- = +`
  - `+*- = -`
  - `-*+ = -`
- Exercices
  - `A = 4(5 + x) = 20 + 4x`
  - `B = 5(x - 2) = 5x - 10`
  - `C = (4x + 6) × 3 = 12x + 18`
  - `D = −6(-2x + 4) = 12x - 24`
  - `E = -x(2 – 3x) = -2x + 3x²`
  - `F = -(5 – x) = -5 + x`

Double-distributivité

- Formule : `(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd`
- Exemple : `(2+5x)(x+4) = 2x + 8 + 5x² + 20x`
- Exercices
  - `A = (2x + 3)(x + 8) = 2x² + 19x + 24`
  - `B = (−3 + x)(4 – 5x) = -5x² + 19x – 12`
  - `C = 2(3 + x)(3 – 2x) = -4x² - 6x + 18`
  - `D = 2x(1 − x) − (x − 3)(3x + 2) = -5x² + 9x + 6`

Factorisation

Facteur commun simple

- Méthode : identifier et réduire
- Exercices
  - `A = 3,5x - 4,2x + 2,1x = 1,4x`
  - `B = 4t - 5tx + 3t = t(7 - 5x)`
  - `C = 4x - 4y + 8 = 4(x - y + 2)`
  - `D = x² + 3x - 5x² = x(-4x + 3)`
  - `E = 3t + 9u + 3 = 3(t + 3u + 1)`
  - `F = 3x² - x = x(3x - 1)`

Facteur commun apparent

- Méthode : réécriture si nécessaire
- Exercices
  - `A = 3(2 + 3x) - (5 + 2x)(2 + 3x) = (2 + 3x)(-2 - 2x)`
  - `B = (2 – 5x)² - (2 – 5x)(1 + x) = (2 - 5x)(1 - 6x)`
  - `C = 5(1-2x) - (4 + 3x)(2x – 1) = (1 - 2x)(9 + 3x)`

Identités remarquables

• Propriétés
  • (a + b)² = a² + 2ab + b²
  • (a - b)² = a² - 2ab + b²
  • (a + b)(a - b) = a² - b²
• Exemples de développement
  • (x + 3)² = x² + 6x + 9
  • (x - 5)² = x² - 10x + 25
  • (2x - 1)(2x + 1) = 4x² - 1

Développement avec IR

- Exercices
  - `A = (x + 3)² = x² + 6x + 9`
  - `B = (3x - 4)² = 9x² - 24x + 16`
  - `C = (x − 3)(x + 3) = x² − 9`
  - `D = (2x + 3)(2x − 3) = 4x² − 9`
  - `E = (4 – 3x)(3x + 4) = 16 – 9x²`
- Développement et réduction
  - `A = (2x - 3)² + (x + 5)(3 - x) = 3x² - 14x + 24`
  - `B = (x - 3)(x + 3) - (4 – 3x)² = -8x² + 24x - 25`
  - `C = 2(x + 3) + (2x + 3)(2x – 3) = 4x² + 2x - 3`

Factorisation avec IR

- Méthode 1 : identifier `a² ± 2ab + b²`
  - `A = x² - 2x + 1 = (x - 1)²`
  - `B = 4x² + 12x + 9 = (2x + 3)²`
  - `C = 9x² - 4 = (3x - 2)(3x + 2)`
  - `D = 25 + 16x² - 40x = (5 - 4x)²`
  - `E = 1 - 49x² = (1 - 7x)(1 + 7x)`
- Méthode 2 : facteur apparent
  - `A = (2x + 3)² – 64 = (2x - 5)(2x + 11)`
  - `B = 1 − (2 - 5x)² = (-1 + 5x)(3 - 5x)`