Le langage des probabilités et l’espace probabilisé fini

L’ESSENTIEL

• Une expérience aléatoire a pour résultats possibles les éventualités ; leur ensemble est l’univers . Un événement est une partie de .
• Le contraire de est ; « ou » correspond à , « et A\cap BA\cap B=\varnothing$ ; cela ne signifie pas indépendants.
• Une probabilité vérifie et l’additivité pour deux événements incompatibles. À retenir : , et .
• En équiprobabilité, .
• Pour , . L’indépendance équivaut à .
• Un système complet d’événements permet de découper les probabilités : . Bayes inverse le conditionnement en utilisant ce découpage.

I. Le langage des probabilités

Vocabulaire et opérations

Pour trois pièces, chacune étant acceptable () ou défectueuse () :

Exemples de description des événements :

• « Au plus une pièce défectueuse » :
  ; son contraire, « au moins deux pièces défectueuses », vaut .
• Un événement peut aussi être donné sans description verbale évidente : .
• « La première pièce est défectueuse » :
  .
• « La dernière pièce est défectueuse » :
  .
  Leur intersection est et leur réunion est
  .
• « Exactement une pièce défectueuse » :
  ; cet événement est inclus dans « au moins une pièce défectueuse »,
  .
• « Exactement une pièce défectueuse » et « exactement deux pièces défectueuses »,
  , sont incompatibles.

Système complet d’événements

Une famille est un système complet si :

1. chaque est non vide ;
2. les événements sont deux à deux incompatibles ;
3. leur réunion est .

Pour les trois pièces, la répartition par nombre de pièces défectueuses forme un système complet :

À retenir

• Une inclusion donne une implication : si , toute issue de appartient à .
• Incompatibilité se vérifie par une intersection vide ; un système complet ajoute la couverture de tout et la non-vacuité de chaque événement.

II. Espace probabilisé fini

II.1. Approche fréquentiste de la notion de probabilité

On répète l’expérience fois et on note , le nombre de réalisations de . L’approche fréquentiste associe :

Cette conception historique a été remplacée par celle de mesure de probabilité ; elle réapparaît dans la loi des grands nombres.

II.2. Espace probabilisé fini

Pour un univers fini , est l’ensemble de ses parties, donc des événements.

Une probabilité est une application

vérifiant :

1. ;
2. si et sont incompatibles, .

Le triplet est un espace probabilisé fini.

II.3. Propriétés

Justifications à connaître :

• et sont incompatibles et ; l’additivité donne .
• et sont incompatibles et leur réunion vaut .
• Si , alors , réunion disjointe : , avec .
• Pour la formule de réunion, décomposer , puis , ces deux réunions étant disjointes.

II.4. Formule du crible de Poincaré

Pour et des événements :

Les premiers termes donnent :

Les intersections sont ajoutées puis soustraites alternativement, par ordre croissant. La preuve se mène par récurrence sur , en s’appuyant sur la formule de réunion de deux événements.

II.5. Équiprobabilité

Il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité. La mesure correspondante est la mesure de probabilité uniforme. Pour tout événement :

Ainsi, la probabilité d’un événement est le rapport du nombre d’issues favorables au nombre total d’issues.

En effet, si contient éléments, chaque issue a probabilité puisque leur réunion disjointe a probabilité . Un événement contenant issues a donc une probabilité .

II.6. Remarque concernant la modélisation

Une situation concrète doit être traduite par un univers et une mesure aussi fidèles que possible à la réalité. La construction du modèle relève d’un choix de modélisation : une réponse peut être mathématiquement exacte dans un modèle, mais absurde pour la situation réelle.

Exemple : devant la question de la probabilité qu’un chat tapant au hasard écrive les œuvres complètes de Victor Hugo, réduire l’univers à deux issues (« il les écrit » ou « il ne les écrit pas ») et leur attribuer l’équiprobabilité donne une chance sur deux : réponse mathématique selon ce modèle, mais complètement absurde au regard de la réalité.

À retenir

• Pour une réunion, soustraire les intersections comptées plusieurs fois ; le crible poursuit l’alternance à tous les ordres.
• La formule « cas favorables / cas totaux » exige l’équiprobabilité.
• La validité d’un calcul dépend aussi du choix d’un modèle adapté à la situation.

III. Probabilités conditionnelles ; indépendance de deux événements

III.1. Probabilités conditionnelles

Si , la probabilité de sachant est :

Elle est aussi notée par certains auteurs. Comme , on a ; ainsi .

Exemple des examens. Sur 100 personnes :

Avec et les réussites aux examens 1 et 2, 60 personnes réussissent le premier, dont 30 le second :

III.2. Indépendance de deux événements

Intuitivement, l’indépendance signifie que connaître la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre. Lorsque les probabilités conditionnelles correspondantes sont considérées :

La définition à utiliser est :

Ne pas confondre :

Lors de lancers successifs d’une pièce, les résultats sont considérés indépendants : même après 1000 résultats « Pile », la probabilité d’obtenir « Pile » au 1001e lancer reste . L’indépendance exprime ici l’absence d’influence des résultats précédents.

III.3. Formule des probabilités totales

Si est un système complet d’événements, alors, pour tout événement :

Le découpage de par les est exhaustif : . Les morceaux sont incompatibles deux à deux ; leurs intersections dans le crible sont donc vides.

III.4. Formule de Bayes

Pour un système complet et un événement tel que :

C’est une formule d’inversion du conditionnement : le dénominateur rassemble les contributions de toutes les catégories au cas où se réalise.

Exemple des accidents. Les catégories d’automobilistes forment le système complet suivant :

Les probabilités conditionnelles d’être responsable d’un accident sont :

Par probabilités totales :

Puis, par Bayes :

Lecture par arbre :

• Pour , additionner les produits des probabilités des chemins aboutissant à « Accident ».
• Pour , diviser le produit du chemin « puis Accident » par la somme des produits de tous les chemins aboutissant à « Accident ».

À retenir

• Conditionner par revient à rapporter la part de située dans à la probabilité de ; il faut .
• Pour tester l’indépendance, comparer à , et non à une intersection vide.
• Avec un système complet : additionner les contributions pour les probabilités totales ; pour Bayes, rapporter la contribution de la catégorie visée au total observé.

Auto-évaluation

1. Comment définir une éventualité, l’univers et un événement élémentaire ?
2. Que signifient , , et l’incompatibilité ?
3. Quelles conditions définissent un système complet d’événements ?
4. Quels sont les deux axiomes d’une probabilité sur un univers fini ?
5. Donner les formules de , , de monotonie et de .
6. Quel est le principe du crible de Poincaré, et comment la preuve est-elle décrite ?
7. Quelle condition autorise la formule de probabilité par cardinalités ?
8. Pourquoi le modèle à deux issues pour le chat et les œuvres de Victor Hugo est-il un exemple de modélisation absurde ?
9. Définir et indiquer sa condition d’existence.
10. Quel critère permet de décider si deux événements sont indépendants ? En quoi diffère-t-il de l’incompatibilité ?
11. Énoncer la formule des probabilités totales et la formule de Bayes.
12. Dans l’exemple des accidents, calculer puis .
13. Comment utiliser un arbre pour calculer la probabilité d’un événement observé, puis une probabilité conditionnelle inversée ?

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1. Une éventualité est un résultat possible ; rassemble toutes les éventualités ; un événement élémentaire contient une seule éventualité.
2. Réunion : « ou » ; intersection : « et » ; inclusion : toute réalisation de entraîne celle de ; incompatibilité : intersection vide.
3. Les événements sont non vides, deux à deux incompatibles, et leur réunion vaut .
4. et, pour deux événements incompatibles, .
5. ; ; si , ; .
6. La probabilité de la réunion alterne les sommes de probabilités d’intersections, avec un signe changeant à chaque ordre. La preuve est donnée par récurrence, en utilisant la formule de réunion de deux événements.
7. L’équiprobabilité des événements élémentaires : alors .
8. L’équiprobabilité entre « le chat écrit les œuvres » et « il ne les écrit pas » est un choix de modèle mathématique qui ne représente pas fidèlement la réalité.
9. ; il faut .
10. L’indépendance exige ; l’incompatibilité exige .
11. ; .
12. et .
13. Additionner les produits des chemins aboutissant à l’événement observé ; pour la probabilité conditionnelle inversée, diviser le produit du chemin de la catégorie visée par le total des produits des chemins aboutissant à l’événement observé.