Probabilités élémentaires : langage et événements

I. Le langage des probabilités

Une expérience aléatoire est une expérience dont les résultats dépendent au moins en partie du hasard. Exemple : prélever au hasard 3 pièces produites par une usine et noter pour chacune si elle est acceptable (A) ou défectueuse (D).

Un résultat possible de l’expérience est une éventualité. Pour les 3 pièces, les éventualités sont AAA, DAA, ADA, AAD, DDA, DAD, ADD et DDD.

L’univers de l’expérience, noté traditionnellement , est l’ensemble de toutes ses éventualités. Ici,

qui contient 8 éléments.

Un événement est toute partie, ou tout sous-ensemble, de . Par exemple,

est l’événement « au plus une pièce défectueuse ». Certains événements sont difficiles à décrire en phrases, comme .

Un événement élémentaire contient une seule éventualité ; par exemple .

L’événement certain est l’univers tout entier ; l’événement impossible est l’ensemble vide .

Pour un événement , son événement contraire est son complémentaire dans . Si

désigne « au plus une pièce défectueuse », son contraire est

c’est-à-dire « au moins deux pièces défectueuses ».

Pour deux événements et , se lit « ou », et se lit « et ». Si

est l’événement « la première pièce est défectueuse », et

est l’événement « la dernière pièce est défectueuse », alors

signifie « la première et la dernière pièce sont défectueuses », tandis que

signifie « la première ou la dernière pièce est défectueuse ».

Si , la réalisation de implique celle de : toute éventualité de est aussi une éventualité de . Ainsi, « exactement une pièce défectueuse »,

est inclus dans « au moins une pièce défectueuse »,

Quand se réalise, se réalise donc automatiquement.

Deux événements et sont incompatibles si . Par exemple, « exactement une pièce défectueuse », , et « exactement deux pièces défectueuses », , sont incompatibles.

Une famille forme un système complet d’événements si et seulement si :

• tous les sont non vides ;
• les événements sont deux à deux incompatibles ;
• .

Pour les 3 pièces, les événements « aucune pièce défectueuse » , « exactement une pièce défectueuse » , « exactement deux pièces défectueuses » , et « trois pièces défectueuses » forment un système complet.

II. Espace probabilisé fini

II.1. Approche fréquentiste de la notion de probabilité

Historiquement, on a d’abord envisagé la probabilité en répétant une expérience aléatoire fois et en notant son résultat à chaque essai. Si un événement se réalise fois, sa probabilité est définie dans cette approche par

Cette approche a été remplacée par la notion plus abstraite de mesure de probabilité, mais on la retrouve dans la loi des grands nombres.

II.2. Espace probabilisé fini

On considère une expérience aléatoire dont l’univers est fini, c’est-à-dire avec un nombre fini de résultats possibles. désigne l’ensemble des parties de , donc l’ensemble des événements de l’expérience.

Une probabilité sur , ou mesure de probabilité, est une application

qui vérifie les deux axiomes :

1. ;
2. pour deux événements incompatibles et , .

Le triplet s’appelle un espace probabilisé fini.

II.3. Propriétés

Soit un espace probabilisé fini.

Événement impossible. On a . En effet, et sont incompatibles, donc

d’où , puis et donc .

Événement contraire. Pour tout événement ,

En effet, et sont incompatibles et , donc

soit .

Cas où implique . Si , alors

On peut écrire , où les événements et sont incompatibles. Ainsi,

Comme prend ses valeurs dans , , d’où .

Disjonction de deux événements. Pour deux événements et ,

En effet, , avec et incompatibles, donc

D’autre part, , réunion de deux événements incompatibles, donc

Ainsi , ce qui donne la formule.

II.4. Formule du crible de Poincaré

La formule du crible de Poincaré, également appelée principe d’exclusion/inclusion, vue dans le cours précédent sur le dénombrement, reste valable pour une mesure de probabilité.

Pour un espace probabilisé fini, un entier et une famille d’événements ,

En développant les premiers termes, on obtient

L’idée de preuve est une récurrence sur , en utilisant la formule de disjonction de deux événements.

II.5. Équiprobabilité

Pour un univers fini , il y a équiprobabilité lorsque les probabilités de tous les événements élémentaires sont égales. On dit alors que est muni de la mesure de probabilité uniforme.

Sous l’hypothèse d’équiprobabilité, pour tout événement ,

En effet, si et si sont les éléments de , alors est la réunion disjointe des événements élémentaires , pour . Ainsi

Toutes ces probabilités étant égales, . Comme ,

Si a pour cardinal et contient les éléments , il est la réunion disjointe des événements élémentaires . Par conséquent,

On retrouve la formule « nombre de cas favorables / nombre total de cas ».

II.6. Remarque concernant la modélisation

Dans beaucoup d’exercices, on part d’une situation réelle, c’est-à-dire d’une expérience aléatoire concrète. Le premier travail consiste à modéliser cette situation en définissant l’univers et la mesure de probabilité . La mesure est censée modéliser la réalité et doit en rendre compte aussi fidèlement que possible. La modélisation n’est pas mathématique à proprement parler : un modèle peut être mathématiquement exact, mais complètement absurde au vu de la réalité.

Exemple : si l’on place un chat devant une machine à écrire et qu’il tape au hasard, quelle est la probabilité qu’il écrive les œuvres complètes de Victor Hugo ? Une réponse mathématiquement juste mais complètement absurde consisterait à ne considérer que deux éventualités — le chat écrit les œuvres complètes ou ne les écrit pas — et, sous l’hypothèse d’équiprobabilité, à répondre qu’il y a une chance sur deux.

III. Probabilités conditionnelles ; indépendance de deux événements

III.1. Probabilités conditionnelles

Dans un espace probabilisé fini, si est un événement tel que et un autre événement, la probabilité de sachant , notée , est

Certains auteurs notent aussi cette probabilité . Comme , et , on a , ce qui assure que . La définition est présentée comme naturelle.

Exemple des examens : un étudiant réussit un examen de mathématiques s’il obtient une note supérieure ou égale à 10. En moyenne, sur 100 personnes :

• 30 réussissent les examens 1 et 2 ;
• 30 réussissent l’examen 1 et ratent l’examen 2 ;
• 25 ratent l’examen 1 et réussissent l’examen 2 ;
• 15 ratent les deux examens.

Parmi les 60 personnes qui réussissent l’examen 1, 30 réussissent aussi l’examen 2. La probabilité de réussir l’examen 2 sachant que l’examen 1 est réussi est donc

En notant et les événements de réussite aux examens 1 et 2, cela donne

III.2. Indépendance de deux événements

Intuitivement, deux événements et sont indépendants si la réalisation de l’un n’a aucune influence sur la probabilité de réalisation de l’autre, et vice-versa. Cela s’écrit

En utilisant la définition des probabilités conditionnelles, chacune de ces égalités conduit à . On prend cette dernière égalité comme définition : deux événements et sont indépendants si et seulement si

Il ne faut pas confondre incompatibilité et indépendance. L’incompatibilité signifie et n’est pas la même notion que l’indépendance.

L’indépendance peut aussi se comprendre comme un « oubli du passé » ou une « absence de mémoire ». Par exemple, lors de plusieurs lancers successifs d’une pièce, les résultats des différents lancers sont considérés comme indépendants : les résultats précédents n’influencent pas le résultat du lancer suivant. Même après avoir obtenu 1000 fois « Pile » lors des 1000 premiers lancers, la probabilité d’obtenir « Pile » au 1001e lancer reste égale à .

III.3. Formule des probabilités totales

Une famille forme un système complet d’événements si tous les sont non vides, s’ils sont deux à deux incompatibles — pour , — et si .

Si est un système complet d’événements dans un espace probabilisé fini, avec , alors, pour tout événement ,

Pour le démontrer, on applique le crible de Poincaré à la famille . Comme les forment un système complet, . Les étant deux à deux disjoints, les probabilités des intersections deux à deux, trois à trois, etc., dans le crible sont nulles, ce qui donne la formule.

III.4. Formule de Bayes

Soit un système complet d’événements dans un espace probabilisé fini, avec . Pour un événement tel que et un entier compris entre 1 et ,

En effet,

La formule des probabilités totales donne , et, pour chaque ,

En remplaçant le numérateur et le dénominateur, on obtient la formule de Bayes. Cette formule est souvent utilisée comme formule d’inversion.

Exemple des accidents. Les automobilistes sont répartis en trois catégories :

• : connaissent le code de la route et l’appliquent ;
• : connaissent le code de la route et ne l’appliquent pas ;
• : ne connaissent pas le code de la route.

Pour un automobiliste choisi au hasard,

En notant l’événement « être responsable d’un accident », on suppose que

Les événements forment un système complet. La formule des probabilités totales donne

Pour un automobiliste ayant causé un accident, la probabilité qu’il appartienne à la catégorie est

Les formules des probabilités totales et de Bayes se retrouvent facilement à l’aide d’un arbre. Pour calculer , on additionne les produits des probabilités de tous les chemins qui mènent à « Accident » :

Pour calculer , on divise le produit des probabilités du chemin qui mène à « Accident » en passant par par la somme des produits des probabilités de tous les chemins qui mènent à « Accident » :